ECLAIREMENT DE PANNEAUX SOLAIRES EN ORBITE HELIOSYNCHRONE 

Menu exercices

Cours

Solution

Accueil

L'exercice consiste à calculer les variations d'éclairement des panneaux solaires d'un satellite en orbite héliosynchrone circulaire. L'orientation du plan des panneaux est fixe dans un repère stellaire.

I DONNEES DU PROBLEME

Le repère galiléen de référence O IJK est associé à J2OOO, avec I ligne vernale, K axe de la rotation terrestre.

1°) ORBITE :

Elle est caractérisée par trois paramètres :

L'inclinaison orbitale, dont on sait que pour une orbite héliosynchrone qu'elle est liée à l'altitude Z de l'orbite

L'heure sidérale H au nœud ascendant.

La longitude vernale W du nœud ascendant.

On utilisera un repère Ro associé à l'orbite PQW, avec P suivant la ligne des nœuds, W vecteur unitaire du moment cinétique réduit, normal au plan orbital et induisant le sens du mouvement.

2°) SATELLITE ET PANNEAUX SOLAIRES :

On prend le cas général d'une orientation quelconque mais fixe du plan des panneaux dans l'espace. On note D la normale au plan des panneaux orientée du côté des cellules solaires. Les composantes dans Ro sont n1 n2.n3

3°) MODELISATION DU SOLEIL :

Le vecteur unitaire u qui pointe le soleil depuis le centre terre est défini par sa déclinaison d et sa longitude vernale a. Jo désigne la date de l'équinoxe de printemps, J la date actuelle. On rappelle que la déclinaison maximum du soleil sur l'équateur est x = 23°27'. On prendra une année de 365 jours.

II PROBLEME 

1°) a ) Pour une orbite héliosynchrone, écrire l'équation liant W, a, H. Remarque?

b) Traduire la loi de la déclinaison du soleil x en fonction de J -Jo.

2°) Calculer les composantes de u dans Ro

3°) Calculer l'angle d'incidence y d'éclairement du panneau, entre la normale au panneau et la direction du soleil. Exprimer une condition d'éclairement effectif des panneaux.

4°) De manière très générale, énoncez sans résoudre les conditions pour que le satellite soit en éclipse.

 

III SOLUTION 

1°) a ) Equation liant W, a, H. Remarque?

La figure suivante rappelle les angles :

 

Ici dans notre cas e = a - W , de plus nous savons que l'heure locale H est liée à e par la relation ci-dessous

REMARQUE : Pour un satellite héliosynchrone, e est constant et H est constante. En pratique donc tout se passe comme si les positions respectives Orbite - Soleil sont verrouillées. On peut donc avantageusement travailler dans le repère Ro lié à l'orbite. Dans le cas général il est préférable de travailler dans IJK.

b) Traduire la loi de la déclinaison du soleil d en fonction de J -Jo.:

Oubliant que la distance Terre- Soleil varie au cours de l'année, et gardant donc une distance moyenne constante. Tout se passe vu de la terre, dans IJK, comme si le soleil était sur une orbite circulaire d'inclinaison x décrite en une période de 365 jours solaires moyens.

Reprenons donc la formule de la latitude établie dans le cours sur les points survolés, sinlS =sini sin(q+w)

Pour nous i = x, lS = d ,plaçant le nœud, au périgée et exprimant q+w nous avons donc :

2°) Composantes de u dans Ro :

Il n'est pas utile de faire une figure pour cela.

3°) Incidence y. Condition d'éclairement effectif des panneaux.:

Par définition l'angle d'incidence y est l'angle entre la normale D aux panneaux, du côté des cellules et la direction u du soleil. La condition d'éclairement s'exprime par y < 90°, donc par le signe de cosy .

Ainsi :

avec

avec la condition cosy > 0

CAS PARTICULIER AVEC LE PLAN DES PANNEAUX NORMAL AU PLAN ORBITAL :

Dans ce cas simple on a n1 = n2 = 0, il vient donc :

Vérifications :

1- Si H=12 h et J = Jo, alors le soleil est toujours dans le plan orbital au dessus du nœud ascendant et l'éclairement de panneaux déployés dans ce plan est nul. Effectivement on a cosy=0.

NB : On pourrait vérifier que si J-Jo< 6 mois alors les panneaux ne sont pas éclairés et J-Jo> 6 mois les panneaux sont toujours éclairés, mais sous un angle d'incidence très fort, au mieux 87°.

2 - Si 0<H<12 h J =Jo, le soleil éclaire la face opposée des panneaux, ce qui devrait être confirmé par cosy<0.

Comme 0°< e <180°, sine > 0 et cosdsinesini>0 donc cosy<0.

NB : Par contre au cours de l'année un éclairement est peut-être possible à certaines périodes qu'il faudrait calculer.

3 - a) Si H=18 h et J-Jo = 3 mois, (Solstice d'été) alors, on obtient l'angle y maximum

cosy = sin(x+i) ---> ymax= x+i-90°

NB : Il faudrait vérifier que 2 fois par an, les rayons du soleil sont normaux aux panneaux, du moins pour les orbites héliosynchronesn non exotiques.

b) Si H=18 h et J-Jo = 9 mois, (Solstice d'hiver) alors, on obtient l'angle y minimum, même calcul et ymin= x-i+90°

Le graphe fait bien apparaître les 2 valeurs y = 30°.5 et 16°.5

Ci-dessous le cas H=13 h qui donne très peu d'éclairement, avec un angle d'incidence variant de 73°.5 à 79°.2.

CAS GENERAL :

Une simulation est nécessaire, montrant pour chaque valeur de H, un résultat différent. Cependant, pour chaque valeur de H , il doit être possible d'optimiser l'orientation, pour un éclairement maximal. C'est un os à ronger.

4°) Indiquer, sans résoudre, les conditions vérifiées lorsque le satellite est en éclipse sur son orbite?

Il suffit de lire le cours correspondant (Visibili.htm), pour énoncer ces conditions

H désigne le point projection du centre de la terre O sur la direction, d'unitaire u, partant du satellite vers le Soleil.

Nous dirons que le satellite S est en éclipse si la longueur TH est inférieure au rayon terrestre et si le satellite n'est pas devant la Terre ( auquel cas la terre n'intercepterait pas les rayons).

Ceci se traduit très simplement, le lecteur y réfléchira, à l'aide des 2 vecteurs ci-dessous aisément calculable dans la base du repère IJK associé à J2000.

Unitaire de la direction du soleil, le vecteur u

Rayon vecteur du satellite, le vecteur r

NB : Pour ceux qui posséderaient le logiciel Matlab, voici le petit programme de visualisation, avec deux variables à moduler, H et i.. Il est dans le répertoire de l'exercice sous la dénomination ECLAIR.M

% Programme de calcul d'éclairement de panneaux solaires

% Satellite

H=12;% Heure locale

incl=97; % Inclinaison orbitale

incl=incl*pi/180;

epsilon=15*(12-H)*pi/180; % Angle epsilon en radian

cspsi_tab=[];psi=[]; % Initialisations

J=0:5:365;% Nombre de jours depuis équinoxe de printemps

delta=asin(sin(23.5*pi/180)*sin(2*pi/365*(J)));% Déclinaison du soleil en radian

% Cosinus de l'angle d'éclairement en radian

cspsi=sin(delta)*cos(incl)-sin(incl)*sin(epsilon)*cos(delta);

psi=acos(cspsi)*180/pi; % Psi en degrés

end

epsilon

 

% Tracé de la courbe psi en fonction de J

plot(J,acos(cspsi)*180/pi,'b');

cinvert

FIN